初中奥数的一元二次方程应用题及解析

关于初中奥数的一元二次方程应用题及解析

　　

一、增长率问题

　　

例1

　　恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

　　

解：

设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1-20%)(1+x)2=193.6，

　　即(1+x)2=1.21，解这个方程，得x1=0.1，x2=-2.1(舍去).

　　答 ：这两个月的平均增长率是10%.

　　

说明 ：

这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2=n求解，其中mn.

　　

二、商品定价

　　

例2

　　益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件?每件商品应定价多少?

　　

解 ：

根据题意，得(a-21)(350-10a)=400，整理，得a2-56a+775=0，

　　解这个方程，得a1=25，a2=31.

　　因为21×(1+20%)=25.2，所以a2=31不合题意，舍去.

　　所以350-10a=350-10×25=100(件).

　　答 ：需要进货100件，每件商品应定价25元.

　　

说明 ：

商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.

　　

三、储蓄问题

　　

例3

　　王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的'500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)

　　

解 ：

设第一次存款时的年利率为x.

　　则根据题意，得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理，得90x2+145x-3=0.

　　解这个方程，得x1≈0.0204=2.04%，x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈-1.63舍去.

　　答 ：第一次存款的年利率约是2.04%.

　　

说明 ：

这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.

　　

四、趣味问题

　　

例4

　　一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗?

　　

解 ：

设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.

　　则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8，整理，得x2+0.8x-1.8=0.

　　解这个方程，得x1=-1.8(舍去)，x2=1.

　　所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.

　　答 ：渠道的上口宽2.5m，渠深1m.

　　

说明 ：

求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.